Клелия (кривая)

Проекции клелий на экваториальную плоскость при различных $c.$ Части кривых на тыльной стороне сферы изображены пунктирными линиями.

Кле́лия — пространственная геометрическая фигура: кривая на сфере, задаваемая в сферических координатах уравнением

\varphi =c\,\theta ,

где переменные $\varphi$ и $\theta$ — соответственно азимутальный и зенитный углы, $c>0$ — некоторая константа.

Клелии были впервые описаны итальянским математиком Гвидо Гранди во второй части работы «Геометрические цветы» («Flores geometrici», 1728)^[1] и названы им в честь современницы, математика Клелии Борромео.

Проекции клелий на экваториальную плоскость $\theta =\pi /2$ являются розами — плоскими кривыми, также открытыми Гранди и описанными им в первой части той же работы.

Доказательство

Запишем уравнение клелии в виде

\theta ={\frac {\varphi }{c}}

и возьмём от обеих частей синус:

\sin \theta =\sin {\frac {\varphi }{c}}.

Перейдём к цилиндрическим координатам: с учётом

\rho =r\sin \theta

уравнение кривой можно записать как

{\frac {\rho }{r}}=\sin {\frac {\varphi }{c}}.

Величина

r

на сфере постоянна; обозначим её

r=a.

Обозначим

{\frac {1}{c}}=k.

Обе константы положительны.

Получаем

\rho =a\sin k\varphi

— уравнение розы в полярных координатах.

На практике форму клелий имеют круговые полярные орбиты спутников. При этом константа $c$ равна отношению периода обращения спутника к периоду осевого вращения центрального тела.

Частным случаем клелии, при $c=1,$ является кривая Вивиани. Она соответствует синхронной орбите.

Всякая клелия проходит через северный $\left(\theta =0\right)$ и южный $\left(\theta =\pi \right)$ полюса сферы. При рациональном $c$ кривая замкнута и имеет конечную длину, при иррациональном — не замкнута и её длина бесконечна.